Ününü bir matematik ispatında kullanılmış en büyük sayı olmasıyla elde eden Graham sayısı ile başlıyoruz. Benim Graham sayısı ile tanışmam bu alanla ilgilenmeye başladığım sıralarda keşfettiğim Numberphile isimli harika bir YouTube kanalı vesilesiyle oldu. Burada Nottingham Üniversitesi’nde teorik fizik profesörü olan Tony Padilla’nın oldukça anlaşılır şekilde Graham sayısını anlattığı bir videoya denk geldim. Hemen akabinde Ron Graham’in kendi sayısını bizzat kendisinin anlattığı bir başka videoya daha denk geldim. Her ikisini de izlemenizi tavsiye ederim.  

Sayı aktif olarak kullanılıyor, çünkü matematikte bir ispatta kullanılmış en büyük sayı ünvanı kendisinde (Kruskal’ın TREE teoremi daha büyük sayılar üretiyor, fakat Graham sayısı net olarak tanımlanmış bir problemin herkesçe kabul edilmiş üst limitini ifade ediyor).

Graham sayısının çıkışı kaos içinde düzen arayan Ramsey problemlerine dayanır. Şöyle ki: n boyuttan oluşan bir hiperküp çiziyoruz (2 boyutta kare, 3 boyutta küp, 4 boyutta tesserakt gibi). Sonra bu hiperkübün bütün köşelerini birleştiriyoruz ve tüm kenar ve köşegenleri iki farklı renk ile boyuyoruz (örneğin kırmızı ve lacivert olsun). Fakat boyarken dikkat etmeliyiz, çünkü özel bir konfigürasyondan kaçınmak istiyoruz: Aynı düzlem üzerinde, tüm kenar ve köşegenler aynı renk olmayacak. Yani aşağıdaki şekiller yasak:

Sorumuz şu: Bu şekillerden kaçınmanın imkânsız olduğu bir hiperkübün en az kaç boyutu olmalı?

2 boyutta bu mümkün ve oldukça kolay. Köşegenlerden birini farklı bir renge boyarız olur biter. Tıpkı aşağıdaki gibi:

Ya 3 boyutta? Kaos başlıyor, fakat hâlâ işimiz kolay. Örneğin, resimdeki küp içerisinden alınmış kesitin en alt kenarını laciverte boyarız ve sorun çözülür.

Fakat bu noktadan sonra artık devreye gözlerimiz değil, matematiksel kanıtlar giriyor. 4 boyutta, 5 boyutta, hatta 6 boyutta bu özel konfigürasyonlardan kaçınmak mümkün. Zamanla problemin matematikçilerin ilgisini çekmesiyle beraber bu alt sınır da geliştirilmeye başladı. Öyle ki, gerekli boyut sayısı 2003 yılında Geoffrey Exoo tarafından 11’e, 2008 yılında ise Jerome Barkley tarafından 13’e çıkarıldı. Yani 12 boyut yetersiz, bundan matematiksel olarak eminiz. İşte Graham sayısı da ihtiyacımız olan boyut sayısının üst limiti. Yani elimizde Graham sayısı kadar boyutu bulunan bir hiperküp olduğunda, bu özel konfigürasyonlardan kaçınmamız imkânsız! Altını çizelim, doğru cevap 13 de olabilir ve bu kimseyi şaşırtmaz. Yalnızca henüz ispatlanmadı o kadar.

Hepsi iyi hoş da, kaç bu sayı? En ufak bir fikrimiz yok. Tek yapabildiğimiz ona giden yolda birkaç adım ilerleyebilmek, o da özel notasyonlarla. Bir önceki yazıda bahsettiğim Knuth’ın yukarı ok notasyonunu hatırlayın. Adım adım gidiyoruz:

Graham sayısı hakkında bilgimiz son derece kısıtlı. Sonlu olduğunu biliyoruz. 3’e tam bölünebildiğini biliyoruz. Modüler aritmetikteki belirli döngüler sayesinde son rakamının 7 olduğunu biliyoruz. Hatta yine modüler aritmetiğin alametifarikaları sayesinde son birkaç yüz basamağını bile biliyoruz. Belki komik gelecek ama 8 milyar insanın beyin gücünü tek bir yapı içine toplayabilecek bir teknolojimiz olsaydı ve bu sayıyı düşünmeye kalksaydık, yapının anında karadeliğe dönüşeceğini biliyoruz. Tüm bunların yanında, sayının hangi rakamla başladığı hakkında en ufak bir fikrimiz yok. Kaç basamaktan oluştuğu bile tam anlamıyla muamma.

Bir sonraki yazı, Busy Beaver hakkında. Takipte kalın ☺ 

Barış Yalın Uzunlu